力的三种意义-数学推导

1. 质量 * 加速度

$$ f = m \times a $$

基本定义,不再赘述,接下来在数学上说明力的另外两种意义。


2. 动量变化率

动量的定义:

$$ momentum = m \times v $$

取动量关于时间的微分,$\frac{d(mv)}{dt}$

$m$是固定的,所以原式可以写成

$$ m \times \frac{dv}{dt} $$

加速度即速度的瞬时变化率: $a = \frac{dv}{dt}$

所以

$$ m \times \frac{dv}{dt} = m \times a = f $$


3. 关于功

也可以说力是在作用方向上每单位距离所做的功。

功的定义

$$ w = f \times y $$

固定力,取功关于距离的微分

$$ dw = f \times dy
f = \frac{dw}{dy} $$

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递归的魅力 - 定义自然数系和自然数加法

作为Rudin的《数学分析原理》的补充,最近在读《陶哲轩实分析》,读Rudin的时候五体投地,读了《陶实》发现还有更神的。《数分》没有讲自然数和加法乘法,而是直接讲了域的公理,将加法乘法作为公理,然后从戴德金分割讲$\mathbb{R}$,十分乏味。然而《陶实》从Peano公理定义自然数讲起,并且涉及到数学思想,比如公理化构造数系、归纳、递归。读过《陶实》再回去看《数分》会觉得十分清晰。 这里作为一个笔记和民科,总结一下公理化定义自然数系$\mathbb{N}$到自然数加法的过程,一些我们认为理所当然的东西的证明,比如加法交换律结合律的正确性,让工科生,文科生感受一下数学的严谨和递归的魅力(不属于上述两个范围的同学出门左转去看CS类文章谢谢 :P)。 Peano公理 首先引入一种运算,或者说表示方法,学计算机的同学会比较熟悉:$n++$表示n的“自增“,即$n = n + 1$,这个奇怪的等式在数学中不会这么用,一个变量定义两次容易引起混淆,在这里我们取$n++$的值,即$n++$表示紧跟在$n$后面的自然数。 要定义自然数,首先我们要有a priori,即证明前假定为真的东西,就是Peano公理。 公理1:$0$是自然数 公理2:若$n$是自然数,则$n++$也是自然数 接下来就可以用公理1,2递归地给所有自然数定义 $1 := 0++$ $2 := 1++$ 即 $(0++)++$ $3 := 2++$ 即 $((1++)++)$,$((0++)++)++$ 等等 里面的符号:=的意思是“根据定义相等”。 为使自然数系不会因达到一个值之后就回归0(比如计算机中用表示2 bytes(16 bits)表示unsinged,到$65535_{(10)}$即$1111 1111 1111 1111_{(2)}$之后就溢出变0,不懂计算机的也可以想一个可以表示3个数字的里程表,999之后就会变成000)引入另一个公理: 公理3:0不是任何自然数的后继,即$\forall n \in \mathbb{N}, n++ \neq 0$ 这样并没有禁止类似$5 = 6$即$4++ = 5++$的情况,为了保证所有自然数的独特性,引入 公理4:不同自然数有不同后继,即$\forall n,m \in \mathbb{N}, n \neq m$,则$n++ \neq m++$,用逆否命题等价地说,若$n++ = m++$,则$n = m$ 回顾公理1 - 4,我们的公理至此只是定义了自然数,但还没有说类似0.
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