力的三种意义-数学推导

1. 质量 * 加速度

$$ f = m \times a $$

基本定义，不再赘述，接下来在数学上说明力的另外两种意义。

2. 动量变化率

动量的定义:

$$ momentum = m \times v $$

取动量关于时间的微分，$\frac{d(mv)}{dt}$

$m$是固定的，所以原式可以写成

$$ m \times \frac{dv}{dt} $$

加速度即速度的瞬时变化率: $a = \frac{dv}{dt}$

所以

$$ m \times \frac{dv}{dt} = m \times a = f $$

3. 关于功

也可以说力是在作用方向上每单位距离所做的功。

功的定义

$$ w = f \times y $$

固定力，取功关于距离的微分

$$ dw = f \times dy
f = \frac{dw}{dy} $$

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递归的魅力 - 定义自然数系和自然数加法
作为Rudin的《数学分析原理》的补充，最近在读《陶哲轩实分析》，读Rudin的时候五体投地，读了《陶实》发现还有更神的。《数分》没有讲自然数和加法乘法，而是直接讲了域的公理，将加法乘法作为公理，然后从戴德金分割讲$\mathbb{R}$，十分乏味。然而《陶实》从Peano公理定义自然数讲起，并且涉及到数学思想，比如公理化构造数系、归纳、递归。读过《陶实》再回去看《数分》会觉得十分清晰。 这里作为一个笔记和民科，总结一下公理化定义自然数系$\mathbb{N}$到自然数加法的过程，一些我们认为理所当然的东西的证明，比如加法交换律结合律的正确性，让工科生，文科生感受一下数学的严谨和递归的魅力（不属于上述两个范围的同学出门左转去看CS类文章谢谢 :P）。 Peano公理 首先引入一种运算，或者说表示方法，学计算机的同学会比较熟悉：$n++$表示n的“自增“，即$n = n + 1$，这个奇怪的等式在数学中不会这么用，一个变量定义两次容易引起混淆，在这里我们取$n++$的值，即$n++$表示紧跟在$n$后面的自然数。 要定义自然数，首先我们要有a priori，即证明前假定为真的东西，就是Peano公理。 公理1：$0$是自然数 公理2：若$n$是自然数，则$n++$也是自然数 接下来就可以用公理1，2递归地给所有自然数定义 $1 := 0++$ $2 := 1++$ 即 $(0++)++$ $3 := 2++$ 即 $((1++)++)$，$((0++)++)++$ 等等 里面的符号:=的意思是“根据定义相等”。 为使自然数系不会因达到一个值之后就回归0（比如计算机中用表示2 bytes(16 bits)表示unsinged，到$65535_{(10)}$即$1111 1111 1111 1111_{(2)}$之后就溢出变0，不懂计算机的也可以想一个可以表示3个数字的里程表，999之后就会变成000）引入另一个公理： 公理3：0不是任何自然数的后继，即$\forall n \in \mathbb{N}, n++ \neq 0$ 这样并没有禁止类似$5 = 6$即$4++ = 5++$的情况，为了保证所有自然数的独特性，引入 公理4：不同自然数有不同后继，即$\forall n,m \in \mathbb{N}, n \neq m$，则$n++ \neq m++$，用逆否命题等价地说，若$n++ = m++$，则$n = m$ 回顾公理1 - 4，我们的公理至此只是定义了自然数，但还没有说类似0.
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